有限数学示例

$\sqrt{x^{2} - 10 x + 25} + 12 \sqrt{x} = 15 \sqrt{x}$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $15 \sqrt{x}$ 。

$\sqrt{x^{2} - 10 x + 25} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

解题步骤 2

化简 $\sqrt{x^{2} - 10 x + 25} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x}$ 。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\sqrt{x^{2} - 10 x + 5^{2}} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

解题步骤 2.1.1.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

解题步骤 2.1.1.3

重写多项式。

$\sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

解题步骤 2.1.1.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 5$ 。

$\sqrt{{(x - 5)}^{2}} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

解题步骤 2.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x - 5 + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

解题步骤 2.2

从 $12 \sqrt{x}$ 中减去 $15 \sqrt{x}$ 。

$x - 5 - 3 \sqrt{x} = 0$

解题步骤 3

将所有不包含 $- 3 \sqrt{x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.1

从等式两边同时减去 $x$ 。

$- 5 - 3 \sqrt{x} = - x$

解题步骤 3.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$- 3 \sqrt{x} = - x + 5$

解题步骤 4

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(- 3 \sqrt{x})}^{2} = {(- x + 5)}^{2}$

解题步骤 5

化简方程的两边。

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解题步骤 5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

${(- 3 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 5)}^{2}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

化简 ${(- 3 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

${(- 3)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 5)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.2

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$9 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 5)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x + 5)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.3.2.1

约去公因数。

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x + 5)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.3.2.2

重写表达式。

$9 x^{1} = {(- x + 5)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.4

化简。

$9 x = {(- x + 5)}^{2}$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

化简 ${(- x + 5)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.1.1

将 ${(- x + 5)}^{2}$ 重写为 $(- x + 5) (- x + 5)$ 。

$9 x = (- x + 5) (- x + 5)$

解题步骤 5.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(- x + 5) (- x + 5)$ 。

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解题步骤 5.3.1.2.1

运用分配律。

$9 x = - x (- x + 5) + 5 (- x + 5)$

解题步骤 5.3.1.2.2

运用分配律。

$9 x = - x (- x) - x \cdot 5 + 5 (- x + 5)$

解题步骤 5.3.1.2.3

运用分配律。

$9 x = - x (- x) - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

解题步骤 5.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$9 x = - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

解题步骤 5.3.1.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.3.1.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$9 x = - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

解题步骤 5.3.1.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$9 x = - 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

解题步骤 5.3.1.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$9 x = 1 x^{2} - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

解题步骤 5.3.1.3.1.4

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$9 x = x^{2} - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

解题步骤 5.3.1.3.1.5

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$9 x = x^{2} - 5 x + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

解题步骤 5.3.1.3.1.6

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$9 x = x^{2} - 5 x - 5 x + 5 \cdot 5$

解题步骤 5.3.1.3.1.7

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$9 x = x^{2} - 5 x - 5 x + 25$

解题步骤 5.3.1.3.2

从 $- 5 x$ 中减去 $5 x$ 。

$9 x = x^{2} - 10 x + 25$

解题步骤 6

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$x^{2} - 10 x + 25 = 9 x$

解题步骤 6.2

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 6.2.1

从等式两边同时减去 $9 x$ 。

$x^{2} - 10 x + 25 - 9 x = 0$

解题步骤 6.2.2

从 $- 10 x$ 中减去 $9 x$ 。

$x^{2} - 19 x + 25 = 0$

解题步骤 6.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 6.4

将 $a = 1$ 、 $b = - 19$ 和 $c = 25$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.5

化简。

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解题步骤 6.5.1

化简分子。

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解题步骤 6.5.1.1

对 $- 19$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ 。

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解题步骤 6.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $25$ 。

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 100}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.5.1.3

从 $361$ 中减去 $100$ 。

$x = \frac{19 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.5.1.4

将 $261$ 重写为 $3^{2} \cdot 29$ 。

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解题步骤 6.5.1.4.1

从 $261$ 中分解出因数 $9$ 。

$x = \frac{19 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.5.1.4.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \frac{19 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.5.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2}$

解题步骤 6.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 6.6.1

化简分子。

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解题步骤 6.6.1.1

对 $- 19$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ 。

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解题步骤 6.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.6.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $25$ 。

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 100}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.6.1.3

从 $361$ 中减去 $100$ 。

$x = \frac{19 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.6.1.4

将 $261$ 重写为 $3^{2} \cdot 29$ 。

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解题步骤 6.6.1.4.1

从 $261$ 中分解出因数 $9$ 。

$x = \frac{19 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.6.1.4.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \frac{19 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.6.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.6.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2}$

解题步骤 6.6.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{19 + 3 \sqrt{29}}{2}$

解题步骤 6.7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 6.7.1

化简分子。

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解题步骤 6.7.1.1

对 $- 19$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.7.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ 。

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解题步骤 6.7.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.7.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $25$ 。

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 100}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.7.1.3

从 $361$ 中减去 $100$ 。

$x = \frac{19 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.7.1.4

将 $261$ 重写为 $3^{2} \cdot 29$ 。

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解题步骤 6.7.1.4.1

从 $261$ 中分解出因数 $9$ 。

$x = \frac{19 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.7.1.4.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \frac{19 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.7.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.7.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2}$

解题步骤 6.7.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{19 - 3 \sqrt{29}}{2}$

解题步骤 6.8

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{19 + 3 \sqrt{29}}{2}, \frac{19 - 3 \sqrt{29}}{2}$

解题步骤 7

排除不能使 $x - 5 - 3 \sqrt{x} = 0$ 成立的解。

$x = \frac{19 + 3 \sqrt{29}}{2}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{19 + 3 \sqrt{29}}{2}$

小数形式：

$x = 17.57774721 \dots$

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